Le calcul des cotes au Texas Hold'em
Qu'est-ce qu'une cote ?
Dans les courses de chevaux, les cotes indiquent ce qu'un cheval va rapporter. Si vous misez dix euros sur un cheval dont la cote est de 20 contre 1, s'il arrive gagnant, vous allez toucher 200 euros (le chiffre réel est inférieur car l'organisateur prélève sa commission, mais le principe est là). Plus la cote est haute et plus le cheval rapporte quand il gagne.
Cote positive et cote négative
La cote positive. Si vous savez de source sûre que le cheval que vous avez choisi a une chance de gagner supérieure à ce qu'indique sa cote, il faut le jouer. Si vous ne jouez que des chevaux qui répondent à ce critère, vous allez forcément recueillir plus d'argent que vous en avez misé à la longue. Et vous serez gagnant chronique.
La cote négative. En revanche, si vous savez de source sûre que le cheval que vous avez choisi a une chance de gagner inférieure à ce qu'indique sa cote, il ne faut pas le jouer. Si vous ne jouez que des chevaux qui répondent à ce critère, vous allez forcément recueillir moins d'argent que vous en avez misé à la longue. Et vous serez perdant chronique.
Au poker, jouer une cote positive, c'est jouer un risque sur-rémunéré par rapport au gain potentiel.
Inversement, jouer une cote négative, c'est jouer un risque sous-rémunéré par rapport au gain potentiel.
Comment s'exprime une cote
Une cote est une autre manière d'exprimer une probabilité. Si un sac contient dix boules numérotées de 1 à 10 et si vous tirez une boule au hasard, la probabilité de tirer la boule n°1 est de 1/10.
- Il y a 10 cas possibles : 1, 2, . , 9, 10. = CP
- Il y a 1 cas favorable : 1. = CF
- Il y a 9 cas défavorables : 2, 3, . , 9, 10. = CD
Dans tous les cas, on a CP = CF + CD
(les cas possibles sont la somme des cas favorable et des cas défavorables ; c'est ce qu'on appelle une partition)
On appelle « expérience » le fait de « Tirer une boule au hasard ».
On appelle « événement » le fait de « Tirer la boule n°1 ». Admettons qu'on le note E=1.
On admet que les dix événements possibles « Tirer la boule n°x » (avec x=1, x=2, ., x=9, x=10) ont tous la même probabilité de se produire. Ils sont dits « équiprobables ».
La probabilité P(E=x) est égale à la part que prennent les cas favorables parmi les cas possibles. C'est donc un quotient :
P(E=1) = CF/CP = 1/10 = 0,1 = 10%
Pour passer de la probabilité à la cote :
La probabilité met en rapport les cas favorables et les cas possibles. La cote, elle, exprime le même chiffre mais en mettant en rapport les cas défavorables et les cas favorables. Dans notre exemple, la cote est de 9 contre 1 car CD = 9 et CF = 1. Dans le cas général, la cote s'écrit comme ceci :
Cote = « CD contre CF »
On parle d'une « cote contre » car on met en valeur la probabilité que l'événement choisi ne se produise pas. On peut aussi parler d'une « cote pour » : on dirait alors « 1 pour 9 », mais cette cote est moins utilisée.
D'une manière générale, il faut faire en sorte que le chiffre à droite du mot « contre » soit 1. Donc quand on a « 8 contre 2 », il suffit de diviser par 2 de part et d'autre du mot « contre » pour obtenir « 4 contre 1 ». Prenons maintenant d'autres exemples :
- « Tirer une boule impaire » : 5 contre 5, donc 1 contre 1
- « Tirer une boule supérieure à 5 » : 5 contre 5, donc 1 contre 1
- « Tirer une boule supérieure à 8 » 8 contre 2, donc 4 contre 1
Voici le tableau de correspondance entre les principales valeurs de probabilité et les cotes :
| Quotient (CF/CP) | Probabilité | Cote (CD contre CF) |
| 1/2 | 50,00% | 1 contre 1 |
| 1/3 | 33,33%* | 2 contre 1 |
| 1/4 | 25,00% | 3 contre 1 |
| 1/5 | 20,00% | 4 contre 1 |
| 1/6 | 16,67%* | 5 contre 1 |
| 1/7 | 14,29%* | 6 contre 1 |
| 1/8 | 12,50% | 7 contre 1 |
| 1/9 | 11,11% | 8 contre 1 |
| 1/10 | 10,00% | 9 contre 1 |
| 1/15 | 6,67% | 14 contre 1 |
| 1/20 | 5,00% | 19 contre 1 |
| 1/50 | 2,00% | 49 contre 1 |
| 1/100 | 1,00% | 99 contre 1 |
Il est évidemment hors de question de connaître par cour ce tableau parce que cela n'a aucun intérêt. Il suffit d'avoir compris le principe.
Pourquoi utiliser des cotes au lieu des probabilités ? Vous allez le voir ci-après : grâce aux cotes, on évalue plus facilement notre rentabilité par rapport au pot. Cette rentabilité provient de la comparaison entre deux types de cotes :
- la cote d'amélioration
- la cote du pot, ou cote financière
Les cotes d'amélioration
La cote d'amélioration se déduit des cartes que vous possédez et des cartes du tableau. La plupart du temps, la cote d'amélioration se calcule au flop.
Prenons l'exemple du tirage à quinte :
 |
 |
 |
Flop | Main |  |
 |
Comme nous connaissons déjà 5 cartes sur les 52 du départ, il reste 47 cartes possibles. Voyons comment elles se répartissent à la turn :
52 cartes en tout |
||
| 5 cartes connues | 47 cartes inconnues | |
| Les 2 cartes privatives et les 5 cartes du flop | 8 cartes nous donnent la quinte : les quatre Valets et les quatre Six |
39 cartes ne nous donnent rien de mieux |
D'après ce tableau synoptique, notre cote d'amélioration de la quinte est de 39 contre 8, soit 4,9 contre 1, que nous arrondissons à 5 contre 1.
cote d'amélioration = 5 contre 1
La cote du pot
Reprenons l'exemple en cours. Admettons que nous nous trouvions sur un coup qui a ces caractéristiques :
- blind/surblind : 100/200
- notre place : bouton
- deux joueurs ont payé avant nous
- nous payons avec 8-7
- le blind paie et le surblind checke
- il y a donc 5 joueurs dans le coup
- le pot à la fin du tour d'enchères préflop : 1.000
Le pot contient 1.000 quand arrive le flop-exemple. Prenons maintenant deux cas d'enchères différents au flop :
Cas d'enchères 1 :
Le blindeur ouvre à 500, les trois autres joueurs passent. Le pot contient donc 1.500. Je dois alors me dire ceci :
« Je dois miser 500 pour espérer gagner 1.500 »
La cote du pot est donc : 1.500 contre 500, soit 3 contre 1.
Cas d'enchères 2 :
Le blindeur ouvre à 500, les trois autres joueurs suivent. Le pot contient donc 3.000. Je dois alors me dire ceci :
« Je dois miser 500 pour espérer gagner 3.000 »
La cote du pot est donc : 3.000 contre 500, soit 6 contre 1.
Les cotes explicites
Nous pouvons résumer la situation de cette manière :
| Cote d'amélioration | Cote du pot | |
| Cas d'enchères 1 | 5 contre 1 | 3 contre 1 |
| Cas d'enchères 2 | 5 contre 1 | 6 contre 1 |
Cas d'enchères 1 : Cote du pot < cote d'amélioration
Comptablement, voici comment les choses se présentent. Comme nous allons toucher notre quinte une fois sur six, voyons ce qui se passe sur six tentatives :
- dans une tentative, je gagne 1.500 ; gain total : 1.500
- dans cinq tentatives, je perds 500 ; perte totale : 2.500
- donc situation comptable : +1500 - 2.500 = -1.000
Autrement dit, si je tente systématiquement la quinte dans cette situation, je vais perdre de l'argent sur le long terme. Attention : sur ce coup précis, je vais peut-être quand même toucher ma quinte, mais au vu des possibilités, cette décision n'est pas rentable donc je dois choisir l'autre, à savoir jeter mes cartes. C'est le sens de l'expression « risque sous-rémunéré ».
Cas d'enchères 1 : Cote du pot > cote d'amélioration
Comptablement, voici comment les choses se présentent. Comme nous allons toucher notre quinte une fois sur six, voyons ce qui se passe sur six tentatives :
- dans une tentative, je gagne 3.000 ; gain total : 3.000
- dans cinq tentatives, je perds 500 ; perte totale : 2.500
- donc situation comptable : +3.000 - 2.500 = +500
Autrement dit, si je tente systématiquement la quinte dans cette situation, je vais gagner de l'argent sur le long terme. Attention : sur ce coup précis, je vais peut-être ne pas toucher ma quinte, mais au vu des possibilités, cette décision est rentable donc je dois la choisir, à savoir payer les 500. C'est le sens de l'expression « risque sur-rémunéré ».
Attention : dans les deux cas d'enchères, la probabilité de faire quinte à la turn est exactement la même, mais :
- dans le cas 1, elle est assortie d'un gain faible
- dans le cas 2, elle est assortie d'un gain élevé.
Ces résultats répondent à deux hypothèses :
- il s'agit du gain réalisé à la turn seule ; si l'adversaire se maintient à la river bien qu'on ait touché notre quinte gagnante, notre gain est grossi des enchères de la river
- la quinte nous rend gagnant du coup, ce qui sera le cas la plupart du temps, mais pas toujours.
Lexique
Dans notre vocabulaire, nous disons que :
- le cas d'enchères 1 dégage une cote financière négative, ou représente un risque sous-rémunéré
- le cas d'enchères 2 dégage une cote financière positive, ou représente un risque sur-rémunéré
Et à la river ?
Nous venons de voir le cas d'amélioration à la turn seule. Mais il nous reste deux cas à examiner :
L'amélioration à la river seule
C'est simple : cette amélioration est la même, à très peu de chose près, que l'amélioration à la turn. En effet : à la turn, la probabilité de toucher la quinte est de 8/47, et la probabilité à la river est de 8/46, si la quinte n'a pas été réalisée à la turn (si elle l'a été, la question de l'amélioration ne se pose évidemment plus !).
L'amélioration à la turn + river
Cette fois, si vous envisagez dès le flop de tirer la turn ET la river, il suffit de multiplier les probabilités par deux et vous obtiendrez une valeur approchée de votre cote réelle. Attention : ce n'est pas la façon de faire dans le monde des probabilités, mais ici nous pouvons le faire car le nombre d'événements possibles est relativement grand (47) et l'expérience est répétée seulement deux fois.
Quel est l'impact sur la cote ? Dans notre exemple, nous avons une cote sur la turn de 5 contre 1, soit une chance sur 6. Pour trouver la valeur approchée de la cote sur deux cartes, procédez en deux temps :
- divisez par deux ce chiffre, soit une chance sur 3
- convertissez-le en cote, soit 2 contre 1
La cote sur la turn et la river est surtout utile dans deux cas :
- en Texas hold'em à limites fixes, car l'ampleur des relances est connue d'avance
- si vous êtes all-in, car vous êtes certain alors de voir les deux dernières cartes du tableau.
Ne vous bercez pas d'illusions !
En Texas hold'em no limit, ne calculez jamais vos cotes au flop en considérant que vous allez voir la turn ET la river. En effet, un adversaire peut « casser votre cote » par une forte relance et vous dissuader ainsi de voir la river après la turn. Conclusion : en no-limit, au flop, ne considérez que la cote sur une carte de plus, la turn.
Nombre de cartes améliorantes
Le « nombre d'outs » est le nombre de cartes qui améliorent votre main. Voici le tableau des probabilités de toucher selon le nombre d'outs :
| Amélioration après le flop | Probabilité |
Probabilité turn OU river |
| 21 outs | 70% | 45% |
| 20 outs | 68% | 43% |
| 19 outs | 65% | 40% |
| 18 outs | 62% | 38% |
| 17 outs | 60% | 36% |
| 16 outs | 57% | 34% |
| 15 outs | 54% | 32% |
| 14 outs | 51% | 30% |
| 13 outs | 48% | 28% |
| 12 outs | 45% | 26% |
| 11 outs | 42% | 24% |
| 10 outs | 38% | 22% |
| 9 outs | 35% | 20% |
| 8 outs | 32% | 17% |
| 7 outs | 28% | 15% |
| 6 outs | 24% | 13% |
| 5 outs | 20% | 11% |
| 4 outs | 17% | 9% |
| 3 outs | 13% | 7% |
| 2 outs | 8% | 4% |
| 1 out | 4% | 2% |
Exemple : vous partez avec 10-9 et le flop est J-8-4. Vous avez donc un tirage à quinte. Vous touchez la quinte si la turn ou la river est un 7 ou une Dame. Comme il y a quatre Septs et quatre Dames dans le jeu, vous avez en tout 8 outs. D'après le tableau, votre probabilité de finir avec quinte est de :
- 32% si vous touchez la turn et la river
- 17% si vous touchez la turn seule, ou la river seule.
Pour simplifier les calculs :
- multipliez le nombre d'outs par 2 pour obtenir le pourcentage d'amélioration à la turn
- multipliez le nombre d'outs par 4 pour obtenir le pourcentage d'amélioration sur turn + river (et réduisez légèrement la probabilité obtenue pour avoir la probabilité réelle)
à partir de 14 outs et plus, vous avez plus d'une chance sur deux de réussir votre combinaison sur la turn ET la river
| Améliorations au flop | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Quinte ventrale | Outs | Cartes | Deck | proba% | cote | cela arrivera |
| 4 | Turn | 47 | 9 | 11 contre 1 | 1 fois sur 12 | |
| River | 46 | 9 | 11 contre 1 | 1 fois sur 12 | ||
| cumulé | Turn + River | 17 | 5 contre 1 | 1 fois sur 6 | ||
| Quinte par les 2 bouts | Outs | Cartes | Deck | % | cote | cela arrivera |
| 8 | Turn | 47 | 17 | 5 contre 1 | 1 fois sur 6 | |
| River | 46 | 17 | 5 contre 1 | 1 fois sur 6 | ||
| cumulé | Turn + River | 34 | 2 contre 1 | 1 fois sur 3 | ||
| 2 Overcards | Outs | Cartes | Deck | % | cote | cela arrivera |
| 6 | Turn | 47 | 13 | 7 contre 1 | 1 fois sur 8 | |
| River | 46 | 13 | 7 contre 1 | 1 fois sur 8 | ||
| cumulé | Turn + River | 26 | 3 contre 1 | 1 fois sur 4 | ||
| 1 Overcard | Outs | Cartes | Deck | % | cote | cela arrivera |
| 3 | Turn | 47 | 6 | 15 contre 1 | 1 fois sur 16 | |
| River | 46 | 7 | 14 contre 1 | 1 fois sur 15 | ||
| cumulé | Turn + River | 13 | 7 contre 1 | 1 fois sur 8 | ||
| Couleur | Outs | Cartes | Deck | % | cote | cela arrivera |
| 9 | Turn | 47 | 19 | 4 contre 1 | 1 fois sur 5 | |
| River | 46 | 20 | 4 contre 1 | 1 fois sur 5 | ||
| cumulé | Turn + River | 39 | 2 contre 1 | 1 fois sur 3 | ||
| Brelan | Outs | Cartes | Deck | % | cote | cela arrivera |
| 2 | Turn | 47 | 4 | 23 contre 1 | 1 fois sur 24 | |
| River | 46 | 4 | 22 contre 1 | 1 fois sur 23 | ||
| cumulé | Turn + River | 9 | 11 contre 1 | 1 fois sur 12 | ||
